购物狂中的概率分析

webcraft

购物狂的要点就是确保掷出的色子至少有一个跟已有数字不同，那么假设已有n个数字，还剩t颗色子，那么下次失败的概率就是(n/6)^{t，用Excel快速的算了下：}
7 6 5 4 3 2 1
1 0.00% 0.00% 0.01% 0.08% 0.46% 2.78% 16.67%
2 0.14% 0.41% 1.23% 3.70% 11.11% 33.33%
3 3.13% 6.25% 12.50% 25.00% 50.00%
4 19.75% 29.63% 44.44% 66.67%
5 57.87% 69.44% 83.33%

横轴为剩余色子数，纵轴为已有数字数。
那么可以开出当你已有5个数字是，就收手吧。有四个数字还有两个色子时尚可一搏。

这个分析还不能体现出什么情况下拿什么数字最划算，比如是拿一个1还是三个3划算，下次继续分析。

[ 本帖最后由 webcraft 于 2007-4-6 10:40 编辑 ]

webcraft

继续，玩过购物狂你常会为选择1个1或2好还是三个3好的问题困惑。那么我用纯数学方法分析下。一个六面色子，其点数的期望值或者说平均值是3.5（这个我不解释了，相信学过一点概率都会算）。那么三个3,总点数是9.取一个1的话，那么剩下两个你的期望是3.52 （其实因为以后1不能拿，这个数字会略小），那么你大概可以获得3.52+1=8点，比三个3略亏，如果是一个2就完全等价了。
当然，以上计算没有考虑你已经拿到的数字，否则结果会很不同。比如如果你已经拿过5和6,那么你的每个色子的平均期望就只有(1+2+3+4)/6=1.67了。那么此时你显然拿三个3是绝对正确的选择。
其实这个游戏在进行过程中，每个人都会凭感觉去算这个平均期望，再以此衡量风险和收益。所以还是感觉很重要。可以制作一张表格，告诉你什么情况下算什么动作最好，但那样就没趣味了。

YOYU

啊～这……

KayaK

啊_这......好

YOYU

做一张表格出来是有可能的，
但敢冒多大风险倒是不一定的
冒险也是一种趣味啊
就像大战役，有时候明知道1打3打不过，还是去赌一把～

可以作为一道应用题～～

KayaK

原帖由 YOYU 于 2007-4-6 22:29 发表
做一张表格出来是有可能的，
但敢冒多大风险倒是不一定的
冒险也是一种趣味啊
就像大战役，有时候明知道1打3打不过，还是去赌一把～

可以作为一道应用题～～

你也知道这点啊.......

玩Risk每次都怪自己运气差~
统计数据都不服气

webcraft

继续作应用题:
我发现我前面的计算还不是很精确,这个游戏里6点在累加时算作5点,所以一个骰子的平均值应该是(1+2+3+4+5+5)/6=3.33,比3.5略小.还有就是你拿的点数也会影响将来骰子的期望，你拿的点数越大，将来的骰子的期望就越小。基于这些，我们来算算第一轮不同点数取法的最终期望。
第一轮8个骰子，你取了n个t点的骰子，那么你还剩8-n颗骰，每颗骰的期望是(20-t)/6，那么你最终的期望值是：
nt+((20-t)/6)(8-n)，同样用Excel表算得：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 23.17 21.00 18.83 16.67 14.50 12.33 10.17 8.00
2 23.00 22.00 21.00 20.00 19.00 18.00 17.00 16.00
3 22.83 23.00 23.17 23.33 23.50 23.67 23.83 24.00
4 22.67 24.00 25.33 26.67 28.00 29.33 30.67 32.00
5 22.50 25.00 27.50 30.00 32.50 35.00 37.50 40.00

横轴表示你拿的骰子数，纵轴表示你拿的点数，数值是你最终的期望值。
有些有趣的结论：

如果拿一个骰,还是拿一个1最划算,虽然都差不多.
2.拿3的话，最终期望都差不多，但最终的数值都不大，在及格线左右。
3个4的价值略大于2个5。2个3的价值略大于1个4。
如果你以23分为及格线，忽略5-8列那些非常小概率的情况，那么拿1个1或2，2个或以上的3,4,5都是你的选择。

YOYU

努力复习中……期望是什么………………

webcraft

原帖由 YOYU 于 2007-4-8 20:40 发表
努力复习中……期望是什么………………

你可以回去翻翻自己的小学作文，比如“我的理想是..." 😛

YOYU

我记得期望是高中学的……

flyfeather

恩，简单来说。期望就是平均值。

IrStara

恩，样本空间为无穷大时的平均值，要考虑各个数字出现的频率，骰子比较容易计算因为是等概率的