Catan中的趣味概率题

Cantan的土地上的数字分布如下：
2,12各一个；3-11各两个，没有7。棋盘如图所示。假设数字完全随机摆放，那么棋盘上出现至少一处6和8相邻的概率是多少？

这题有些难度的，我自己也没有正确答案。

原帖由 webcraft 于 2007-2-1 09:11 发表
这题有些难度的，我自己也没有正确答案。

很烦的题目呢.
应该说还需要算上一个沙漠的位置,定为0的话.沙漠位置也相当于是随机分配的.
硬算也是算得出来的啦.

这题不算趣味,而是需要很多时间算.

肯定不能硬算。至其实是道组合数学题。

我来算算看
棋盘上出现至少一处6和8相邻的概率=1-棋盘上没有一处6和8相邻的概率
沙漠其实可以不必管它
难点在于有的格子周围是6格，有的是4格，有的是3格，就要分情况讨论了
有没有更巧妙的办法呢？
其实题目也有不太清楚的地方，6和8相邻，包不包括66相邻或者88相邻？

66,88相邻不算。
这题应该先算数字任意排布的总数是多少，假设每个数字都不一样。这个好算有，19!种，其实就是全排列。
然后算以上那么多种情况中，有多少种6和8会相邻，这个难了。

任意排布不是19!
而是19!/2⁸
恩.

为何要除那个2⁸? 对称的状况我都视作不同的局面。

不是对称阿，因为对于所有有2个的数字，他们互换的话，对于排列结果是一样的。
这个是混合了排列和组合的结果，因为有数字重复了。。。。
恩。

我的计算是基于所有数字不一样的前提的，不过要算6和8相邻的组合数，确实难。

这个题复杂。不过我的思路是这样：
两个6分别记作6A和6B，两个8记作8A和8B。先计算6A和8A相邻的组合数。
6A和8A要相邻，就是两个连接的六边形，放到那个棋盘上，共有84（不要问我怎么算的，基本上是数出来的）种摆法。那么剩下的位置取全排列，有17!种。所以6A和8A相邻共有84*17！种。

那么6和8相邻有6A8A,6A8B,6B8A,6B8B，四种组合，所以6和8相邻基本上有48417！种。
说基本上，是因为以上组合有重复计算的。重复计算的情况还很复杂，今天先写到这里。

后续的变化太复杂，我已经不能承受了。看来这道题难度是太大了。